本文引用：GB/T 46583—2025微波介質(zhì)陶瓷介電性能測試方法-開腔法、閉腔法

1范圍

本文件描述了微波介質(zhì)陶瓷介電性能測試方法（開腔法與閉腔法）的測試原理、測試條件、儀器設(shè)備、測試樣品、測試步驟、測試報(bào)告、計(jì)算過程及測量不確定度。

本文件適用于均勻的圓柱形微波介質(zhì)陶瓷。開腔法中，測試頻率范圍為2 GHz~24 GHz，相對(duì)介電常數(shù)的測試范圍為3~300，損耗角正切值的測試范圍為10-4~6×10-3，諧振頻率溫度系數(shù)的測試范圍為-1 500×10-6/℃~1 500×10-6/℃。閉腔法中，測試頻率范圍為1 GHz~32 GHz，相對(duì)介電常數(shù)的測試范圍為3~300、損耗角正切值的測試范圍為2×10-5~10-2。本文件也適用于其他低損耗、無磁性固體電介質(zhì)微波介電性能的測試。

2規(guī)范性引用文件

下列文件中的內(nèi)容通過文中的規(guī)范性引用而構(gòu)成本文件必不可少的條款。其中，注日期的引用文件，僅該日期對(duì)應(yīng)的版本適用于本文件；不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改單）適用于本文件。

GB/T 1216—2018外徑千分尺

3術(shù)語和定義

下列術(shù)語和定義適用于本文件。

3.1微波介質(zhì)陶瓷microwave dielectric ceramics

用于各類微波器件中，通過陶瓷塊體與微波的相互作用實(shí)現(xiàn)各種器件功能，如濾波、導(dǎo)波、微波反射與接收等的陶瓷介質(zhì)材料。

注1：微波介質(zhì)陶瓷一般為復(fù)合氧化物，如鈦酸鹽、鈮酸鹽、鉭酸鹽等。一般要求微波介質(zhì)陶瓷在微波頻段具有合適的相對(duì)介電常數(shù)、低損耗角正切值（或高Qf值）和較小的諧振頻率溫度系數(shù)。

注2：微波介質(zhì)陶瓷是移動(dòng)通信、衛(wèi)星通信等的關(guān)鍵材料。

[來源：GB/T 17991—2009，2.1.28，有修改]

3.2介電性能dielectric properties

在給定頻率范圍內(nèi)用交流電壓測量出的綜合材料介電特性。

[來源：GB/T 31838.1—2015，3.3，有修改]

3.3絕對(duì)介電常數(shù)absolute permittivity

ε-電位移除以電場強(qiáng)度。

注：單位為F/m。

[來源：GB/T 31838.1—2015，3.3.1，有修改]3.4

相對(duì)介電常數(shù)relative permittivity

εr-絕對(duì)介電常數(shù)ε與真空介電常數(shù)ε0（8.854 188×10-12 F/m）的比值。

[來源：GB/T 31838.1—2015，3.3.2，有修改]

3.5 相對(duì)復(fù)介電常數(shù)relative complex permittivity

εrˊ-穩(wěn)定的正弦電場下，包含極化貢獻(xiàn)及損耗部分、以復(fù)數(shù)表示的相對(duì)介電常數(shù)。

[來源：GB/T 31838.1—2015，3.3.3，有修改]

3.6 損耗角正切值loss tangent

Tanδ-相對(duì)復(fù)介電常數(shù)的虛部與實(shí)部的比值。

[來源：GB/T 31838.1—2015，3.3.4，有修改]3.7

Qf值Qf value

Qf-損耗角正切值的倒數(shù)與頻率的乘積。

注：單位為GHz。

3.8 諧振頻率溫度系數(shù)temperature coefficient of resonant frequency

τf-由微波介質(zhì)陶瓷完全填充的理想介質(zhì)諧振器諧振頻率的溫度系數(shù)。

注：單位為10-6/℃。

3.9開腔法open cavity method

利用開放結(jié)構(gòu)的微波諧振腔測試微波介電性能的方法。

注：開腔法又稱為開式腔法、平行板諧振器法、Hakki-Coleman法、Courtney法。

3.10

閉腔法closed cavity method

利用封閉結(jié)構(gòu)的微波諧振腔測試微波介電性能的方法。

注：閉腔法又稱為閉式腔法、金屬諧振腔法。

4測試原理

直徑D、高度H的圓柱形微波介質(zhì)陶瓷樣品，被夾持于如圖1所示直徑為DO的兩塊圓形平行金屬板之間，構(gòu)成開腔法中使用的開腔介質(zhì)諧振器。將上述樣品放置于圖2所示直徑DC、高度HC的圓柱形封閉金屬腔內(nèi)直徑DS、高度HS的圓柱形支撐物上，則構(gòu)成閉腔法中使用的閉腔介質(zhì)諧振器。兩種介質(zhì)諧振器均可在微波頻段產(chǎn)生電磁諧振，通常使用TE011模式測試水平方向的微波介電性能。閉腔法中的TE011模式也稱作TE01δ模式。開腔法中，諧振特性由樣品尺寸及介電性能、金屬壁表面電導(dǎo)率決定，而在閉腔法中，諧振特性還與閉腔尺寸、支撐物尺寸及介電性能有關(guān)。

標(biāo)引說明：

1——金屬平板；2——耦合裝置；3——樣品；

DO——金屬平板直徑；D——樣品直徑；H——樣品高度。

圖1開腔法的結(jié)構(gòu)示意圖

標(biāo)引說明：

1——閉腔側(cè)腔；2——閉腔底蓋；3——閉腔頂蓋；4——支撐物；5——耦合裝置；6——樣品；DC——閉腔直徑；HC——閉腔高度；DS——支撐物直徑；HS——支撐物高度；D——樣品直徑；H——樣品高度。

圖2閉腔法的結(jié)構(gòu)示意圖

如圖3所示，將測試腔（開腔或閉腔）通過耦合裝置、傳輸線與矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀連接，構(gòu)成測試系統(tǒng)。

測試腔與樣品一起產(chǎn)生TE011模式電磁諧振，耦合裝置用于電磁場耦合、諧振激勵(lì)，傳輸線用于傳輸電磁波，矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀用于測試諧振特性。使用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀測試S21參數(shù)，得到TE011模式的諧振頻率f0、f0處的S21［S21（f0）］及-3 dB帶寬Δf。由諧振頻率與-3 dB帶寬的比值計(jì)算得到有載品質(zhì)因數(shù)QL。根據(jù)有載品質(zhì)因數(shù)與f0處的S21得到無載品質(zhì)因數(shù)Qu。根據(jù)諧振頻率及無載品質(zhì)因數(shù)，結(jié)合樣品尺寸，可計(jì)算得到樣品在諧振頻率處的相對(duì)介電常數(shù)與損耗角正切值。開腔法存在解析解，相對(duì)介電常數(shù)與損耗角正切值的計(jì)算相對(duì)簡單；閉腔法不存在解析解，需通過有限單元法等數(shù)值方法求解。開腔法中，測試兩個(gè)溫度下TE011模式的諧振頻率，可計(jì)算得到樣品在相應(yīng)溫度范圍內(nèi)的諧振頻率溫度系數(shù)。

標(biāo)引說明：

1——矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀；2——連接端口；3——傳輸線；4——耦合裝置；5——測試腔；

f0——諧振頻率；S21（f0）——諧振頻率處的S21；Δf——-3 dB帶寬。

圖3微波介質(zhì)陶瓷介電性能測試系統(tǒng)的示意圖

5測試條件

5.1一般測試環(huán)境條件

一般測試環(huán)境條件應(yīng)滿足以下要求：

——溫度：20℃~30℃;

——相對(duì)濕度：25%~75%；

——大氣壓強(qiáng)：86 kPa~106 kPa。

5.2標(biāo)準(zhǔn)測試環(huán)境條件

標(biāo)準(zhǔn)測試環(huán)境條件應(yīng)滿足以下要求：

——溫度：25℃±1℃;

——相對(duì)濕度：（50±2）%；

——大氣壓強(qiáng)：86 kPa~106 kPa。

6儀器設(shè)備

6.1矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀

矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的端口數(shù)不少于2個(gè)，測試頻率范圍至少覆蓋具體測試的諧振頻率，宜覆蓋1 GHz~40 GHz，頻率的相對(duì)不確定度不大于5×10-6，傳輸跟蹤的不確定度不大于0.3 dB，動(dòng)態(tài)范圍大于80 dB。

6.2傳輸線及耦合裝置

6.2.1采用同軸電纜作為傳輸線。

6.2.2采用半剛同軸電纜及一端內(nèi)、外導(dǎo)體短路構(gòu)成的耦合環(huán)作為耦合裝置。耦合環(huán)的環(huán)面與測試腔軸向垂直，由兩側(cè)沿徑向放入測試腔內(nèi)，且耦合環(huán)深入至測試腔內(nèi)的距離連續(xù)可調(diào)。

6.2.3同軸電纜與耦合裝置之間采用同軸接頭連接。

6.3測試腔

6.3.1開腔

開腔由兩塊圓形金屬平板構(gòu)成，直徑DO一般為60 mm~100 mm，內(nèi)部材質(zhì)為銅，表面鍍銀，鍍層厚度大于5μm。對(duì)緊貼樣品兩端的面，要求板面平整，表面粗糙度Ra小于0.2μm。對(duì)于諧振頻率溫度系數(shù)的測試，可使用內(nèi)部材質(zhì)為銅，表面鍍金或先鍍銀、后鍍金的金屬平板。

6.3.2閉腔

閉腔為圓柱形測試腔，由側(cè)腔、底蓋、頂蓋、支撐物構(gòu)成。側(cè)腔、底蓋、頂蓋內(nèi)部材質(zhì)均為銅，表面鍍銀，鍍層厚度大于5μm，內(nèi)壁表面粗糙度Ra小于0.2μm。閉腔直徑DC、閉腔高度HC可根據(jù)需要測試的頻率范圍改變，DC宜為10 mm~50 mm，HC為0.5DC~0.77DC。支撐物采用低相對(duì)介電常數(shù)、低損耗角正切值的材料，推薦石英玻璃。支撐物為直徑DS、高度HS的圓柱體，DS不大于0.25DC，HS為0.2HC~0.3HC。閉腔兩側(cè)開孔，插入耦合裝置。

6.4高低溫試驗(yàn)箱

高低溫試驗(yàn)箱用于樣品諧振頻率溫度系數(shù)的測試，體積至少為開腔的10倍，溫度范圍應(yīng)覆蓋測試所需的溫度區(qū)間，控溫精度優(yōu)于0.1℃。

6.5千分尺

使用符合GB/T 1216—2018規(guī)定的千分尺測量樣品的直徑與高度。

7測試樣品

7.1一般要求

測試樣品應(yīng)為圓柱體，直徑D的相對(duì)偏差不大于0.2%，高度H的相對(duì)偏差不大于0.2%。樣品表面無裂紋、崩角及明顯劃痕。測試前應(yīng)將樣品放置在無水乙醇中、采用超聲波振蕩進(jìn)行清潔處理，之后在80°C~100℃下烘干不少于2 h。

7.2開腔法樣品尺寸要求

樣品尺寸根據(jù)樣品的相對(duì)介電常數(shù)和測試頻率確定。一般原則是：D不大于0.2DO，H為0.526D~0.435D。對(duì)測試頻率無特別要求時(shí)，D宜為9 mm~11 mm。

7.3閉腔法樣品尺寸要求

樣品尺寸根據(jù)樣品的相對(duì)介電常數(shù)、閉腔尺寸和測試頻率確定。一般原則是：εr≥10時(shí)，0.2DC≤D≤0.5DC，0.2HC≤H≤0.5HC；4≤εr<10時(shí)，0.3DC≤D≤0.5DC，0.3HC≤H≤0.5HC；εr<4時(shí)，0.4DC≤D≤0.5DC，0.4HC≤H≤0.5HC。

8測試步驟

8.1相對(duì)介電常數(shù)及損耗角正切值的測試

8.1.1矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀開機(jī)預(yù)熱30 min以上。設(shè)置中頻帶寬不大于10 kHz，掃描點(diǎn)數(shù)不小于3 201。對(duì)連接在1、2端口的同軸電纜進(jìn)行開路、短路、標(biāo)準(zhǔn)負(fù)載及連通校準(zhǔn)后，連接測試腔。

8.1.2使用千分尺測量樣品的直徑及高度。需分別沿樣品軸線及圓周方向選取均勻分布的5個(gè)位置測量直徑及高度，取平均值作為樣品的直徑及高度，保留有效數(shù)字至小數(shù)點(diǎn)后3位（0.001 mm）。

8.1.3將樣品放置于測試腔中。開腔法中，先將樣品放在下金屬板的中心位置，再使上金屬板緊貼樣品；閉腔法中，將樣品放在支撐物上的中心位置，閉合頂蓋。

8.1.4根據(jù)樣品尺寸及估計(jì)的相對(duì)介電常數(shù)，通過附錄A的A.1（開腔法）或附錄B的B.1（閉腔法）中的計(jì)算過程，估算TE011模式的諧振頻率，并在附近找到相應(yīng)的諧振峰。若存在干擾峰，應(yīng)稍微抬高上金屬板或頂蓋，TE011模式對(duì)應(yīng)諧振頻率降低且移動(dòng)較慢的諧振峰。

8.1.5調(diào)節(jié)1、2端口的耦合裝置，使諧振頻率f0處的S21［S21（f0）］介于-30 dB與-50 dB之間，-3 dB帶寬內(nèi)S21表征的諧振峰左右基本對(duì)稱，且S11、S22表征的諧振峰強(qiáng)度相近，或史密斯圓圖上S11、S22對(duì)應(yīng)的諧振圓大小相近。

8.1.6將掃描頻率范圍設(shè)置為-3 dB帶寬的2倍~10倍且諧振峰居中，對(duì)測試的S21取不少于8次的平均。若平均后的S21噪音仍較大，應(yīng)適當(dāng)降低中頻帶寬。

8.1.7記錄諧振頻率f0，保留有效數(shù)字至小數(shù)點(diǎn)后5位（0.000 01 GHz）；記錄S21（f0）及有載品質(zhì)因數(shù)QL，保留4位有效數(shù)字。由公式（1）得到無載品質(zhì)因數(shù)Qu，保留4位有效數(shù)字。

Qu=QL/(1-10^Sn(f0)/20）…………………………（1）

式中：

Qu——無載品質(zhì)因數(shù)；

QL——有載品質(zhì)因數(shù)；

S21（f0）——諧振頻率處的S21，單位為分貝（dB）。

8.1.8根據(jù)樣品的直徑、高度及測得的諧振頻率、無載品質(zhì)因數(shù)，通過A.1、A.2（開腔法）或B.2、B.3（閉腔法）中的計(jì)算過程，計(jì)算得到樣品的相對(duì)介電常數(shù)、損耗角正切值，均保留3位有效數(shù)字。由諧振頻率與損耗角正切值的比值得到Qf值，單位為GHz，保留3位有效數(shù)字。

8.1.9每種微波介質(zhì)陶瓷至少測試3個(gè)樣品，測試結(jié)果取平均值。

8.2諧振頻率溫度系數(shù)的測試

8.2.1矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀開機(jī)預(yù)熱30 min以上。設(shè)置中頻帶寬不大于10 kHz，掃描點(diǎn)數(shù)不小于3 201。使用同軸電纜將矢量網(wǎng)格分析儀的兩個(gè)測試端口延伸至高低溫試驗(yàn)箱內(nèi)，對(duì)同軸電纜進(jìn)行開路、短路、標(biāo)準(zhǔn)負(fù)載及連通校準(zhǔn)。將開腔放在高低溫試驗(yàn)箱中，使用同軸電纜連接開腔。

8.2.2執(zhí)行8.1.2~8.1.6。

8.2.3開啟高低溫試驗(yàn)箱，將保溫溫度設(shè)置在溫度T1。在儀表顯示溫度穩(wěn)定在T1后，保持足夠長時(shí)間（通常1 h~2 h），直至諧振頻率隨時(shí)間由單調(diào)變化變?yōu)樯舷螺p微波動(dòng)。此過程中可能需要調(diào)整矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀的中間頻率，確保諧振峰在測試頻率范圍內(nèi)。記錄T1下的諧振頻率f0（T1），保留有效數(shù)字至小數(shù)點(diǎn)后5位（0.000 01 GHz）。

8.2.4將高低溫試驗(yàn)箱的保溫溫度設(shè)置在溫度T2，使用8.2.3中的方法記錄T2下的諧振頻率f0（T2），保留有效數(shù)字至小數(shù)點(diǎn)后5位（0.000 01 GHz）。

8.2.5由公式（2）得到T1~T2溫度區(qū)間內(nèi)的諧振頻率溫度系數(shù)，保留有效數(shù)字至小數(shù)點(diǎn)后一位（0.1×10-6/℃)。

τf=［(f0(T2)-f0(T1)］/(f0(T1)(T2-T1))…………………………（2）

式中：

τf——諧振頻率溫度系數(shù)，單位為10-6每攝氏度（10-6/℃);

f0——諧振頻率，單位為赫茲（Hz）；

T1、T2——溫度，單位為攝氏度(℃)。

8.2.6對(duì)于常規(guī)測試，推薦取T1為25.0℃、T2為85.0℃?？筛鶕?jù)具體應(yīng)用需求改變T1、T2。對(duì)于溫度穩(wěn)定性要求高的應(yīng)用場合，應(yīng)在關(guān)注的溫度范圍內(nèi)，測試多個(gè)溫度區(qū)間的諧振頻率溫度系數(shù)。

8.2.7每種微波介質(zhì)陶瓷至少測試2個(gè)樣品，測試結(jié)果取平均值。

9測量不確定度

9.1開腔法的測量不確定度

開腔法在測試范圍內(nèi)的測量不確定度如下：

——|Δεr|≤0.4%εr；

——|Δtanδ|≤2%tanδ+4.5×10-5；

——|Δτf|≤0.5%|τf|+0.5×10-6/°C（25.0℃~85.0℃)。

9.2閉腔法的測量不確定度

閉腔法在測試范圍內(nèi)的測量不確定度如下：

——|Δεr|≤0.2%εr；

——|Δtanδ|≤2%tanδ+1.5×10-6。

10測試報(bào)告

測試報(bào)告應(yīng)包含但不限于以下內(nèi)容：

a）注明本文件編號(hào)；

b）設(shè)備與腔體信息，包括所用儀器的制造廠家及型號(hào)、腔體類型；

c）測試時(shí)間；

d）環(huán)境溫度、環(huán)境相對(duì)濕度；

e）樣品說明，包括樣品的直徑、高度。

f）測試結(jié)果：對(duì)于相對(duì)介電常數(shù)與損耗角正切值的測試，測試結(jié)果包括諧振頻率、無載品質(zhì)因數(shù)、相對(duì)介電常數(shù)、損耗角正切值（或Qf值）；對(duì)于諧振頻率溫度系數(shù)的測試，測試結(jié)果包括兩個(gè)測試溫度、相應(yīng)溫度下的諧振頻率、諧振頻率溫度系數(shù)；

g）與測試及其結(jié)果相關(guān)的備注；

h）檢測實(shí)驗(yàn)室。

附錄A（資料性）開腔法的計(jì)算過程

A.1 TE011模式諧振頻率及樣品相對(duì)介電常數(shù)的計(jì)算

樣品直徑D、高度H確定時(shí)，開腔法TE011模式諧振頻率f0與樣品相對(duì)介電常數(shù)εr的關(guān)系由公式（A.1）~公式（A.3）確定：

式中：

α1、β1——特征方程公式（A.3）的第一個(gè)根；

D——樣品的直徑，單位為米（m）；

f0——諧振頻率，單位為赫茲（Hz）；

c0——真空光速，2.997 925×108 m/s；

εr——樣品的相對(duì)介電常數(shù)；

H——樣品的高度，單位為米（m）；

Ji——第i階第一類貝塞爾函數(shù)；

Ki——第i階第二類貝塞爾函數(shù)。

聯(lián)解公式（A.1）~公式（A.3），即可由已知的εr計(jì)算出f0，或由已知的f0計(jì)算出εr。

A.2樣品損耗角正切值的計(jì)算

A.2.1總體計(jì)算公式

根據(jù)測得的無載品質(zhì)因數(shù)Qu，可由公式（A.4）得到樣品的損耗角正切值tanδ:

式中：

Qu——無載品質(zhì)因數(shù)；

Pe——樣品的電能填充因子；

tanδ——樣品的損耗角正切值；

Qc——金屬壁品質(zhì)因數(shù)。

A.2.2電能填充因子的計(jì)算

樣品的電能填充因子Pe由公式（A.5）、公式（A.6）確定：

式中：

Pe——樣品的電能填充因子；

W——由公式（A.6）確定的中間參數(shù)；

εr——樣品的相對(duì)介電常數(shù)；

α1、β1——特征方程公式（A.3）的第一個(gè)根；

Ji——第i階第一類貝塞爾函數(shù)；

Ki——第i階第二類貝塞爾函數(shù)。

A.2.3金屬壁品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算

金屬壁品質(zhì)因數(shù)Qc由公式（A.7）、公式（A.8）確定：

式中：

Qc——金屬壁品質(zhì)因數(shù)；

εr——樣品的相對(duì)介電常數(shù)；

W由公式（A.6）確定的中間參數(shù)；

Rs金屬壁的表面電阻，單位為歐姆(Ω);

f0——諧振頻率，單位為赫茲（Hz）；

H——樣品的高度，單位為米（m）；

c0——真空中的光速，2.997 925×108 m/s；

μ——金屬壁的磁導(dǎo)率，4π×10-7 H/m；

σs——金屬壁的表面電導(dǎo)率，單位為西門子每米（S/m）。

A.2.4金屬壁表面電導(dǎo)率的測試與計(jì)算

金屬壁表面電導(dǎo)率σs可采用以下兩種方法進(jìn)行測試、計(jì)算。

方法一：采用已知低損耗角正切值的材料，制備直徑D、高度H的圓柱形標(biāo)準(zhǔn)樣品，宜使用c軸沿圓柱軸向的Al2O3單晶。測試標(biāo)準(zhǔn)樣品在TE011模式下的諧振頻率f0和無載品質(zhì)因數(shù)Qu。按公式（A.1）~公式（A.3）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)樣品的相對(duì)介電常數(shù)εr，按公式（A.5）、公式（A.6）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)樣品的電能填充因子Pe，按公式（A.4）計(jì)算金屬壁品質(zhì)因數(shù)Qc，再結(jié)合公式（A.7）、公式（A.8）計(jì)算σs。

方法二：采用低損耗角正切值的同種材料，制備直徑D、高度H的圓柱形標(biāo)準(zhǔn)樣品1及直徑D、高度2H的圓柱形標(biāo)準(zhǔn)樣品2，宜使用c軸沿圓柱軸向的Al2O3單晶。分別測試標(biāo)準(zhǔn)樣品1、2在TE011、TE012模式下的諧振頻率f0，1、f0，2及無載品質(zhì)因數(shù)Qu，1、Qu，2，理想情況下f0，1=f0，2。按公式（A.1）~公式（A.3）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)樣品1的相對(duì)介電常數(shù)εr，1，按公式（A.5）、公式（A.6）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)樣品1的電能填充因子Pe，1，按公式（A.9）、公式（A.10）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)樣品1的金屬壁品質(zhì)因數(shù)Qc，1，再結(jié)合公式（A.7）、公式（A.8）計(jì)算σs：

Pe,1 tan……………………………（A.9）

Pe,1 tan…………………………（A.10）

式中：

Qu——無載品質(zhì)因數(shù)；

Pe——標(biāo)準(zhǔn)樣品的電能填充因子；

tanδ——標(biāo)準(zhǔn)樣品的損耗角正切值；

Qc——金屬壁品質(zhì)因數(shù)。

附錄B（資料性）閉腔法的計(jì)算過程

B.1 TE011模式諧振頻率的計(jì)算

式中：

Eφ——環(huán)向電場強(qiáng)度，單位為伏特每米（V/m）；

r——徑向坐標(biāo)，單位為米（m）；

z——軸向坐標(biāo)，單位為米（m）；

f——頻率，單位為赫茲（Hz）；

c0——真空中的光速，2.997 925×108 m/s；

εr，e——單元內(nèi)介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)。

根據(jù)公式（B.1），引入單元內(nèi)環(huán)向電場強(qiáng)度隨徑向及軸向坐標(biāo)線性變化的近似，得到每個(gè)單元的矩陣方程。將所有單元的矩陣方程組合在一起，并引入半橫截面邊緣處環(huán)向電場為零的邊界條件，得到

整體線性方程組，見公式（B.2）：  

式中：  

[A]——由所有單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)決定的整體矩陣；

[B]——由所有單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及相對(duì)介電常數(shù)決定的整體矩陣；

f——頻率，單位為赫茲（Hz）；

c0——真空光速，2.997 925×108 m/s。

當(dāng)樣品的相對(duì)介電常數(shù)εr已知時(shí)，求解線性方程組公式（B.2），其最小正數(shù)解即為TE011模式的諧振頻率，相應(yīng)的特征向量為TE011模式每個(gè)節(jié)點(diǎn)的環(huán)向電場強(qiáng)度。

B.2樣品相對(duì)介電常數(shù)的計(jì)算

當(dāng)TE011模式的諧振頻率f0已知時(shí)，采用迭代法計(jì)算樣品的相對(duì)介電常數(shù)εr。

設(shè)定迭代法第1、2步的相對(duì)介電常數(shù)ε1)為1、ε2)為樣品相對(duì)介電常數(shù)的估計(jì)值。使用B.1中所述方法得到第1、2步的諧振頻率f0(1)、f0(2)。

通過公式（B.3），得到第n（n≥3）步的相對(duì)介電常數(shù)εn)。通過B.1中所述方法，得到第n步的諧振頻率f0(n)。

式中：

εr——相對(duì)介電常數(shù)；

n、n-1、n-2——迭代計(jì)算的步數(shù)；

f0——諧振頻率，單位為赫茲（Hz）。

在第k=n步中，若f0（k）滿足收斂條件公式（B.4），則迭代結(jié)束，εr（k）即為樣品的相對(duì)介電常數(shù)。若f0（k）不滿足收斂條件公式（B.4），則通過公式（B.3）及B.1中所述方法進(jìn)行第k=n+1步計(jì)算。以此類推，直至f0（k）滿足收斂條件公式（B.4）：

式中：

f0——諧振頻率，單位為赫茲（Hz）；

k——迭代計(jì)算的步數(shù)。

B.3樣品損耗角正切值的計(jì)算

B.3.1總體計(jì)算公式

根據(jù)測得的無載品質(zhì)因數(shù)Qu，可由公式（B.5）計(jì)算樣品的損耗角正切值tanδ:

式中：

Qu——無載品質(zhì)因數(shù)；

Pe——樣品的電能填充因子；

tanδ——樣品的損耗角正切值；

Qc——金屬壁品質(zhì)因數(shù)。

B.3.2電能填充因子的計(jì)算

根據(jù)半橫截面內(nèi)每個(gè)單元的相對(duì)介電常數(shù)及每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的環(huán)向電場強(qiáng)度，利用公式（B.6），可求得樣品的電能填充因子Pe。

式中：

Pe——電能填充因子；

i——第i種介質(zhì)，包括樣品、支撐物及空氣；

εr——樣品的相對(duì)介電常數(shù)；

Eφ——環(huán)向電場強(qiáng)度，單位為伏特每米（V/m）；

A——三角形單元的面積，單位為平方米（m2）。

B.3.3金屬壁品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算

金屬壁品質(zhì)因數(shù)Qc可通過公式（B.7）、公式（B.8）求得：

式中：

Qc——金屬壁品質(zhì)因數(shù)；

f0——諧振頻率，單位為赫茲（Hz）；

δ——趨膚深度，單位為米（m）；

Δf0(δ)——閉腔的上、下、側(cè)壁均向內(nèi)移動(dòng)距離δ,引起的諧振頻率的增加量，單位為赫茲（Hz）；μ——金屬壁的磁導(dǎo)率，4π×10-7 H/m；

σs——金屬壁的表面電導(dǎo)率，單位為西門子每米（S/m）。

B.3.4金屬壁表面電導(dǎo)率的測試與計(jì)算

測試未放置樣品、空腔狀態(tài)下TE011模式的諧振頻率f0及無載品質(zhì)因數(shù)Qu，此時(shí)金屬壁品質(zhì)因數(shù)Qc=Qu。利用公式（B.7）求得Δf0(δ)、δ,結(jié)合公式（B.8）即可得到σs。

附錄C（資料性）測試示例

使用Agilent E8363C矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀，采用開腔法、閉腔法測試直徑10.016 mm、高度4.946 mm的圓柱形石英玻璃的微波介電性能。采用開腔法測試相對(duì)介電常數(shù)、損耗角正切值、Qf值過程中環(huán)境溫度為25℃,環(huán)境相對(duì)濕度為30%，測試結(jié)果見表C.1。采用開腔法測試諧振頻率溫度系數(shù)過程中環(huán)境溫度為24℃~26℃,環(huán)境相對(duì)濕度為25%~50%，測試結(jié)果見表C.2。采用閉腔法測試相對(duì)介電常數(shù)、損耗角正切值、Qf值過程中環(huán)境溫度為25℃,環(huán)境相對(duì)濕度為30%，測試結(jié)果見表C.3。

表 C.1    采用開腔法測試石英玻璃相對(duì)介電常數(shù)、損耗角正切值、Qf 值的示例

表 C.2    采用開腔法測試石英玻璃諧振頻率溫度系數(shù)的示例

表 C.3    采用閉腔法測試石英玻璃相對(duì)介電常數(shù)、損耗角正切值、Qf 值的示例